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的音律高人,十二平均律的概述

2019-11-26 16:33栏目:Web前端
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《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

十二平均律的概述

中国乐器行业网 2011.07.27

一直以来,很多人不太明白十二平均律究竟是什么,在这里给读者简单介绍一些十二平均律。 十二平均律亦称“十二等程律”,是指将八度的音程按频率等比例地分 成十二等份,每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。 将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程 的两个音的频率比(即 2 的 7/12 次方)与 1.5 非常接近,人耳基 本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。同时,“十二平均律”的纯四度和大三度,两个音的频率比分别与 4/3 和 5/4 比较接近。也就是说,“十二平均律”的几个主要的和弦音符,都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的,只有极小的差别,这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件,因为这些乐器是靠自然泛音级(如前文所述,自然泛音序列,其频率 是基音频率的整数倍序列,成等差数列)来形成音阶的。 半音是十二平均律组织中最小的音高距离。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用,现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的,因为只有 “十二平均律”才能方便地进行移调。 中国明代律学家朱载堉1581年首创“新法密率”,(见《律吕精义》、《乐律全书》),推算出将八度音等分为十二等分的算法,并制造出新法密率律管及新法密率弦乐器,是世界上最早的十二平均律乐器。这意味着中国的十二平均律比西方的十二平均律早出现了一百年。 西方人创造了钢琴的形体,中国人铸造了其灵魂。 将八度音等分为十二等分,其数学意义如下: 八度音指的是频率加倍。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数,其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方,即1.059463倍。 在朱载堉发表十二平均律理论之后52年,Pere Marin Mersenne在其所著《谐声通论》中发表相似的理论。 德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》(另或译为《十二平均律曲集》英文:《The 48》),有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著。 十二音律有着悠久的历史意义和数学意义,它不仅是历史的载体,也是中国和西方的共同承载体。----来自中华乐器网

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《时间之问21》登上《Nature》的音律高人(上)

引子:100多年前,著名科学期刊《Nature》刊登了一封来自遥远东方学者的来信,探讨并指出了西方声学著作《声学》中的一个错误。《Nature》的编辑和审稿人惊奇地发现这个问题早在数百年前就被明朝朱载堉研究过,并且是以如此简单的实验方法得到的。


一周后,学生和老师又见面了。

“上次我们说到朱载堉想出了计算十二等程律的方法,解决了三分损益法不能完美返宫的问题。”老师说道。

“嗯,朱载堉做出了不可替代的贡献。”

“不过,三分损益法也有可取之处,就像牛顿力学定律虽然无法准确计算接近光速的运动,远不如狭义相对论准确,但它在日常工程计算中仍管用。”

“嗯,用朱载堉的十二等程律计算得到的第七律和五度非常接近,几乎听不出来。”

“不过,反过来说,相对论毕竟是对牛顿经典定律的一次革命性突破,而朱载堉的十二等程律也是对三分损益法的历史性创新。”

“是的,可是我有一个问题,为什么偏偏是朱载堉而不是别人发现了十二等程律?”

“你为什么这样问呢?”老师问道

“中国历史这么悠久,人才如此荟萃,朱载堉的前人就没有优秀的既懂音律又懂数学的奇才吗?这些人中难道就没有想到十二等程律吗?”

“哦,你说的对,朱载堉之前确实有过许多数学音乐奇才,他们对这个问题进行了深入研究。”

“他们是谁呢?”

“例如汉代的京房,他用三分损益法一直计算下去,得到了53个音律。为了和甲子60相对应,他又额外算了7个音律,最终达到了60律。”

“哇!一个八度里有这么多音律。”

“可是,还有更多的呢!钱乐之继续用三分损益法算下去了,居然算到了三百六十律。”

“三百六十律?!我怀疑他的耳朵到底有多灵敏,能在一个八度内区分出三百六十个不同的音调。”

“但无论是京房还是钱乐之,他们都紧紧攥着三分损益法不放,每隔音律是下一个音律的2/3或者4/3倍数,因为分数是有理数,所以所有的音律都是有理数,从未敢跳出这个范围,去无理数的世界里去尝试一下,所以仍存在不能返宫和音律不等距的问题。”

“难道没有人跳出三分损益法去寻找答案呢?”

“有,这个人是南北朝的何承天。你还记得吗?我们在谈论祖冲之的时候提到过何承天编制的历法,祖冲之对这个历法进行了修正。”

“哦,我想起来了。”

“何承天认为三分损益法之所以不能返宫是因为在起始的黄钟音和终止的清黄钟音之间存在音差,他把这个音差平均分配到十二律当中,在十二律的音差部分形成了一个等差数列,这可以说是抛弃五度相生法的一个例子。”

“哦,那它的效果怎样呢?”

“嗯,比较接近平均律。不过朱载堉认为何承天的做法是“强使还元,不能取信于人”。”

“哦,朱载堉的意思是这个反复原理上讲不通?”

“对。之后又有人对三分损益法进行了修正,例如刘焯的等差管律,王朴的纯正音阶律,蔡元达十八律。”

“等差数列?我们现在知道音律之间应该是等比数列吧?”

“对,隋朝的刘焯大胆违背三分损益法,构建了音律等差数列,虽然失败了,却为朱载堉打开最终的大门提供了借鉴,除了三分损益法其它方法也可以尝试。”

“朱载堉对前人方法存在的问题都了解吗?”

“他心里一清二楚。虽然新的律法仍是迷雾重重,不过朱载堉对自己信心十足。他把自己创建的方法称为新法,而之前的叫旧法。”

“新法比旧法好在哪里呢?”

“朱载堉认为新法相邻两个音律之间的比值更加准确,所以叫密率。后人把朱载堉的方法称为新法密率。”

“旧法往而不返,别造新法。” --《律吕精义·内篇》

“这个密率就是上次我们说过的1.059... 后面有24位小数吗?”

“对,就是我们上次说的对2先两次平方,然后开三次方得到的。”

“奇怪了,在加减乘除、乘方、开方这么多中运算方式中,朱载堉是怎么想到开方运算的,而且是先开平方、再开平方,然后开立方的?莫非他有神助?” 学生不解地问道。

“其实朱载堉本来也是相信三分损益法的,因为这个阵营声势浩大,为首的就是大名鼎鼎的学者朱熹。”

“哦,朱熹啊,一代理学宗师呢!” 学生惊叹道。

“嗯,朱载堉冥思苦想古代的音律,可是久久不得其解。一天他抚琴放松一下。在悠扬的琴声中,朱载堉思绪开始在音乐中飘散开来。长久的音乐训练让他的耳朵异常灵敏,他似乎不是用耳朵来听音乐,而是直接用心灵来体察音律。”

“这境界一般人难以达到。”

“琴声低沉时,他也情绪低落;琴声悠远,他的思绪也飘到了天尽头。当琴声再次低沉把他拉回现实时,他似乎觉察出琴音有些不对劲,可是又说不上来。个中滋味,恐怕只有自己心里清楚。”

“嗯。”

“朱载堉低头看自己手指抚琴的位置,刚好是三分损益法所教导的方法,千真万确,一点都不错。这是无数宗师教导的方法,历经千年传习。”

“对啊。”

“可是朱载堉惊奇地发现,这个方法的琴位和琴音就是有那么一点不合。”

“哦,到底哪里出了问题呢?”

“朱载堉知道,抚琴比吹奏笛子复杂得多,一手在特定位置按住琴弦,另一只手弹琴。当琴弦按下的位置稍有不同,琴音就变得不一样了。如果严格按照三分损益法来抚琴,有些音之间的音差大,而有些音之间的音差小,并不均等,所以音调听起来忽高忽低。”

“什么都逃不脱他那灵敏的耳朵!”

“朱载堉昼夜思索,试图穷尽这背后的原因。他把古代从春秋战国到汉唐一直到最近的音律经典书籍都拿出来,逐一审查,什么也没有找到。但是当他用算盘一一验算这些律法时,音律背后的数字在他的算盘上突然变得清晰起来。”

“他有了什么发现?”

“他突然发现,这些数字无论怎么计算,都无法穷尽。他终于豁然醒悟了!”

“醒悟到什么了?”

“这些都只是近似而已。虽然这些都是前人留下的珍宝,但朱载堉意志已决,不能膜拜这些先贤留下来的音律了。”

“近似?前人算得都不够准确?”

“嗯,朱载堉认为,二千年来所有人都把古代音律奉为圭垚,从未有人怀疑。这些记录在经典书籍中的方法都不可信。朱载堉下定决心、抛弃三分损益法,自己尝试新的计算方法。”

“但如果这样,他就孤单影只了。”

“嗯,确实如此。他遇到了前未有过的困难。朱载堉意识到,只有计算得极为精确才有可能解开音律的最终奥秘。可是现有的工具却不够用了。”

“那他怎么办?”

“他一不做二不休,干脆自己开始先发明了新的工具。他做了81档的双排算盘。加减乘除不够,他自己发明了开平方和开立方口诀。”

“嗯,遇山开路,遇水架桥。”

“他操起大算盘,打得噼里啪啦响。打完算盘,得到一个数字,他把新计算出来的数值标记在琴弦旁边,以和三分损益法得到的位置作比较。他在这个位置上弹一下,验证是不是那个音。”

“嗯,理论结合实践。”

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